Annäherungen von e

Problem 65

Die Quadratwurzel von 2 kann als unendlicher Kettenbruch geschrieben werden.

$\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + ...}}}}$

Der unendliche Kettenbruch kann geschrieben werden als $\sqrt{2} = [1; (2)]$, $(2)$ zeigt, dass 2 sich ad infinitum wiederholt. Ebenso ist $\sqrt{23} = [4; (1, 3, 1, 8)]$.

Es stellt sich heraus, dass die Folge der Teilwerte der Kettenbrüche für Quadratwurzeln die besten rationalen Annäherungen bilden. Wir betrachten die Annäherungen für $\sqrt{2}$.

$ 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\\ 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{5}\\ 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{17}{12}\\ 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}}}} = \dfrac{41}{29} $

Somit ist die Folge der ersten zehn Annäherungen an $\sqrt{2}$:

$1, \dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{12}, \dfrac{41}{29}, \dfrac{99}{70}, \dfrac{239}{169}, \dfrac{577}{408}, \dfrac{1393}{985}, \dfrac{3363}{2378}, ...$

Es ist sehr überraschend, dass für die wichtige mathematische Konstante gilt:
$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ... , 1, 2k, 1, ...]$.

Die ersten zehn Glieder der Folge der Annäherungen für e sind:

$2, 3, \dfrac{8}{3}, \dfrac{11}{4}, \dfrac{19}{7}, \dfrac{87}{32}, \dfrac{106}{39}, \dfrac{193}{71}, \dfrac{1264}{465}, \dfrac{1457}{536}, ...$

Die Quersumme des Zählers der 10. Annäherung ist $1 + 4 + 5 + 7 = 17$.

Finden Sie die Quersumme des Zählers der 100. Annäherung des Kettenbruchs für e.