Annäherungen von e
Die Quadratwurzel von 2 kann als unendlicher Kettenbruch geschrieben werden.
√2=1+12+12+12+12+...
Der unendliche Kettenbruch kann geschrieben werden als √2=[1;(2)], wobei (2) zeigt, dass 2 sich ad infinitum wiederholt. Ebenso ist √23=[4;(1,3,1,8)].
Es stellt sich heraus, dass die Folge der Teilwerte der Kettenbrüche für Quadratwurzeln die besten rationalen Annäherungen bilden. Wir betrachten die Annäherungen für √2.
1+12=321+12+12=751+12+12+12=17121+12+12+12+12=4129
Somit ist die Folge der ersten zehn Annäherungen an √2:
1,32,75,1712,4129,9970,239169,577408,1393985,33632378,...
Es ist sehr überraschend, dass für die wichtige mathematische Konstante gilt:
e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2k,1,...].
Die ersten zehn Glieder der Folge der Annäherungen für e sind:
2,3,83,114,197,8732,10639,19371,1264465,1457536,...
Die Quersumme des Zählers der 10. Annäherung ist 1+4+5+7=17.
Finden Sie die Quersumme des Zählers der 100. Annäherung des Kettenbruchs für e.