Annäherungen von e

Problem 65

Die Quadratwurzel von 2 kann als unendlicher Kettenbruch geschrieben werden.

2=1+12+12+12+12+...

Der unendliche Kettenbruch kann geschrieben werden als 2=[1;(2)], wobei (2) zeigt, dass 2 sich ad infinitum wiederholt. Ebenso ist 23=[4;(1,3,1,8)].

Es stellt sich heraus, dass die Folge der Teilwerte der Kettenbrüche für Quadratwurzeln die besten rationalen Annäherungen bilden. Wir betrachten die Annäherungen für 2.

1+12=321+12+12=751+12+12+12=17121+12+12+12+12=4129

Somit ist die Folge der ersten zehn Annäherungen an 2:

1,32,75,1712,4129,9970,239169,577408,1393985,33632378,...

Es ist sehr überraschend, dass für die wichtige mathematische Konstante gilt:
e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2k,1,...].

Die ersten zehn Glieder der Folge der Annäherungen für e sind:

2,3,83,114,197,8732,10639,19371,1264465,1457536,...

Die Quersumme des Zählers der 10. Annäherung ist 1+4+5+7=17.

Finden Sie die Quersumme des Zählers der 100. Annäherung des Kettenbruchs für e.