Neue Übersetzung für Problem 65

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Titel

Inhalt

Die Quadratwurzel von 2 kann als unendlicher Kettenbruch geschrieben werden.

$\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + ...}}}}$
Der unendliche Kettenbruch kann geschrieben werden als $\sqrt{2} = [1; (2)]$, wobei $(2)$ zeigt, dass 2 sich ad infinitum wiederholt. Ebenso ist $\sqrt{23} = [4; (1, 3, 1, 8)]$.
Es stellt sich heraus, dass die Folge der Teilwerte der Kettenbrüche für Quadratwurzeln die besten rationalen Annäherungen bilden. Wir betrachten die Annäherungen für $\sqrt{2}$.
$
1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\\
1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{5}\\
1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{17}{12}\\
1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}}}} = \dfrac{41}{29}
$
Somit ist die Folge der ersten zehn Annäherungen an $\sqrt{2}$:
$1, \dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{12}, \dfrac{41}{29}, \dfrac{99}{70}, \dfrac{239}{169}, \dfrac{577}{408}, \dfrac{1393}{985}, \dfrac{3363}{2378}, ...$
Es ist sehr überraschend, dass für die wichtige mathematische Konstante gilt: $e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ... , 1, 2k, 1, ...]$.
Die ersten zehn Glieder der Folge der Annäherungen für e sind:
$2, 3, \dfrac{8}{3}, \dfrac{11}{4}, \dfrac{19}{7}, \dfrac{87}{32}, \dfrac{106}{39}, \dfrac{193}{71}, \dfrac{1264}{465}, \dfrac{1457}{536}, ...$
Die Quersumme des Zählers der 10. Annäherung ist $1 + 4 + 5 + 7 = 17$.
Finden Sie die Quersumme des Zählers der 100. Annäherung des Kettenbruchs für e.

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<p>Die Quadratwurzel von 2 kann als unendlicher Kettenbruch geschrieben werden.</p>​<p>$\sqrt{2} = 1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + ...}}}}$</p><p>Der unendliche Kettenbruch kann geschrieben werden als $\sqrt{2} = [1; (2)]$, wobei $(2)$ zeigt, dass 2 sich <i>ad infinitum</i> wiederholt. Ebenso ist $\sqrt{23} = [4; (1, 3, 1, 8)]$.</p><p>Es stellt sich heraus, dass die Folge der Teilwerte der Kettenbrüche für Quadratwurzeln die besten rationalen Annäherungen bilden. Wir betrachten die Annäherungen für $\sqrt{2}$.</p><p>$1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}\\1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{7}{5}\\1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}}} = \dfrac{17}{12}\\1 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2 + \dfrac{1}{2}}}} = \dfrac{41}{29}$</p><p>Somit ist die Folge der ersten zehn Annäherungen an $\sqrt{2}$:</p><p>$1, \dfrac{3}{2}, \dfrac{7}{5}, \dfrac{17}{12}, \dfrac{41}{29}, \dfrac{99}{70}, \dfrac{239}{169}, \dfrac{577}{408}, \dfrac{1393}{985}, \dfrac{3363}{2378}, ...$</p><p>Es ist sehr überraschend, dass für die wichtige mathematische Konstante gilt:<br />$e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, ... , 1, 2k, 1, ...]$.</p><p>Die ersten zehn Glieder der Folge der Annäherungen für <i>e</i> sind:</p><p>$2, 3, \dfrac{8}{3}, \dfrac{11}{4}, \dfrac{19}{7}, \dfrac{87}{32}, \dfrac{106}{39}, \dfrac{193}{71}, \dfrac{1264}{465}, \dfrac{1457}{536}, ...$</p><p>Die Quersumme des Zählers der 10. Annäherung ist $1 + 4 + 5 + 7 = 17$.</p><p>Finden Sie die Quersumme des Zählers der 100. Annäherung des Kettenbruchs für <i>e</i>.</p>

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