Quadratwurzeln mit ungerader Periode

Alle Quadratwurzeln sind periodisch, wenn sie als Kettenbrüche geschrieben werden, und können in folgender Form geschrieben werden:

$\displaystyle \quad \quad \sqrt{N}=a_0+\frac 1 {a_1+\frac 1 {a_2+ \frac 1 {a3+ \dots}}}$

Betrachten wir zum Beispiel $\sqrt{23}:$

$\quad \quad \sqrt{23}=4+\sqrt{23}-4=4+\frac 1 {\frac 1 {\sqrt{23}-4}}=4+\frac 1 {1+\frac{\sqrt{23}-3}7}$

Wenn wir dies weiterführen, würden wir die folgende Erweiterung erhalten:

$\displaystyle \quad \quad \sqrt{23}=4+\frac 1 {1+\frac 1 {3+ \frac 1 {1+\frac 1 {8+ \dots}}}}$

Der Prozess kann wie folgt zusammengefasst werden:

$\quad \quad a_0=4, \frac 1 {\sqrt{23}-4}=\frac {\sqrt{23}+4} 7=1+\frac {\sqrt{23}-3} 7$
$\quad \quad a_1=1, \frac 7 {\sqrt{23}-3}=\frac {7(\sqrt{23}+3)} {14}=3+\frac {\sqrt{23}-3} 2$
$\quad \quad a_2=3, \frac 2 {\sqrt{23}-3}=\frac {2(\sqrt{23}+3)} {14}=1+\frac {\sqrt{23}-4} 7$
$\quad \quad a_3=1, \frac 7 {\sqrt{23}-4}=\frac {7(\sqrt{23}+4)} 7=8+\sqrt{23}-4$
$\quad \quad a_4=8, \frac 1 {\sqrt{23}-4}=\frac {\sqrt{23}+4} 7=1+\frac {\sqrt{23}-3} 7$
$\quad \quad a_5=1, \frac 7 {\sqrt{23}-3}=\frac {7 (\sqrt{23}+3)} {14}=3+\frac {\sqrt{23}-3} 2$
$\quad \quad a_6=3, \frac 2 {\sqrt{23}-3}=\frac {2(\sqrt{23}+3)} {14}=1+\frac {\sqrt{23}-4} 7$
$\quad \quad a_7=1, \frac 7 {\sqrt{23}-4}=\frac {7(\sqrt{23}+4)} {7}=8+\sqrt{23}-4$

Es ist zu sehen, dass sich die Folge wiederholt. Für Prägnanz benutzen wir die Schreibweise $\sqrt{23}=[4;(1,3,1,8)]$, um zu zeigen, dass der Block (1,3,1,8) unendlich wiederholt wird.

Die ersten zehn Kettenbruchdarstellungen von (irrationalen) Quadratwurzeln sind:

$\quad \quad \sqrt{2}=[1;(2)]$, Periodenlänge=$1$
$\quad \quad \sqrt{3}=[1;(1,2)]$, Periodenlänge=$2$
$\quad \quad \sqrt{5}=[2;(4)]$, Periodenlänge=$1$
$\quad \quad \sqrt{6}=[2;(2,4)]$, Periodenlänge=$2$
$\quad \quad \sqrt{7}=[2;(1,1,1,4)]$, Periodenlänge=$4$
$\quad \quad \sqrt{8}=[2;(1,4)]$, Periodenlänge=$2$
$\quad \quad \sqrt{10}=[3;(6)]$, Periodenlänge=$1$
$\quad \quad \sqrt{11}=[3;(3,6)]$, Periodenlänge=$2$
$\quad \quad \sqrt{12}=[3;(2,6)]$, Periodenlänge=$2$
$\quad \quad \sqrt{13}=[3;(1,1,1,1,6)]$, Periodenlänge=$5$

Genau vier Kettenbrüche, für $N \le 13$, haben eine ungerade Periodenlänge.

Wie viele Kettenbrüche, für $N \le 10\,000$, haben eine ungerade Periodenlänge?