Produkt-Summen-Zahlen

Eine natürliche Zahl, N, die als die Summe und das Produkt von einer gegebenen Menge von mindestens zwei natürlichen Zahlen, {a₁, a₂, ... , a_k}, dargestellt werden kann, wird Produkt-Summen-Zahl genannt: N = a₁ + a₂ + ... + a_k = a₁ × a₂ × ... × a_k.

Beispiel: 6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.

Für eine gegebene Menge der Größe k nennen wir das kleinste N mit dieser Eigenschaft eine minimale Produkt-Summen-Zahl. Die mimimalen Produkt-Summen-Zahlen für Mengen der Größe k = 2, 3, 4, 5 und 6 sind wie folgt.

k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2
k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3
k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4
k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6

Somit ist für 2≤k≤6 die Summe aller minimalen Produkt-Summen-Zahlen 4+6+8+12 = 30; beachten Sie, dass 8 nur einmal in der Summe gezählt wird.

Und da die komplette Menge der minimalen Produkt-Summen-Zahlen für 2≤k≤12 gleich {4, 6, 8, 12, 15, 16} ist, ist die Summe 61.

Was ist die Summe aller minimalen Produkt-Summen-Zahlen für 2≤k≤12000?