Offene Schachstellungen

Eine Stellung im Schach ist eine (orientierte) Anordnung von Schachfiguren, die auf einem Schachbrett gegebener Größe platziert werden. Im Folgenden betrachten wir alle Stellungen, bei denen $n$ Bauern auf einem $n \times n$ Schachbrett so platziert sind, dass in jeder Reihe und in jeder Spalte ein einzelner Bauer steht.

Wir nennen eine solche Stellung offen, wenn ein Turm, der an der (leeren) unteren linken Ecke beginnt und nur Züge nach rechts oder oben verwendet, die obere rechte Ecke erreichen kann, ohne auf ein von einem Bauern besetztes Feld zu ziehen.

Sei $f(n)$ die Anzahl der offenen Stellungen für ein $n \times n$ Schachbrett.
Zum Beispiel $f(3)=2$, veranschaulicht durch die zwei offenen Stellungen für ein $3 \times 3$ Schachbrett unten.

Ihnen ist auch gegeben, dass $f(5)=70$.

Finden Sie $f(10^8)$ modulo $1\,008\,691\,207$.