Scatterstone Nim

Alice und Bob spielen ein modifiziertes Nim-Spiel namens Scatterstone Nim, bei dem Alice anfängt und sich mit Bob abwechselt. Das Spiel beginnt mit einem beliebigen Satz von Steinhaufen mit einer Gesamtzahl von $n$ Steinen.

Wenn ein Spieler an der Reihe ist, muss er/sie einen Stapel mit mindestens $2$ Steinen auswählen und eine Split-Operation durchführen, bei der der Stapel in einen beliebigen Satz von $p$ nicht-leeren, beliebig großen Haufen mit $2 \leq p \leq k$ für eine feste Konstante $k$ geteilt wird. Zum Beispiel kann ein Haufen der Größe $4$ in $\{1, 3\}$ oder $\{2, 2\}$ oder, wenn $k = 3$, in $\{1, 1, 2\}$ geteilt werden und zusätzlich in $\{1, 1, 1, 1\}$, wenn $k = 4$.

Wenn in einem bestimmten Zug kein gültiger Zug möglich ist, gewinnt der andere Spieler die Partie.

Eine Gewinnposition ist definiert als eine Reihe von Steinhaufen, bei denen ein Spieler letztendlich den Sieg sichern kann, egal was der andere Spieler tut.

Sei $f(n,k)$ die Anzahl der Gewinnpositionen für Alice bei ihrem ersten Zug, wobei die Parameter $n$ und $k$ gegeben sind. Zum Beispiel $f(5, 2) = 3$ mit Gewinnpositionen $\{1, 1, 1, 2\}, \{1, 4\}, \{2, 3\}$. Im Gegensatz dazu ist $f(5, 3) = 5$ mit den Gewinnpositionen $\{1, 1, 1, 2\}, \{1, 1, 3\}, \{1, 4\}, \{2, 3\}, \{5\}$.

Sei $g(n)$ die Summe von $f(n,k)$ über alle $2 \leq k \leq n$. Zum Beispiel, $g(7)=66$ und $g(10)=291$.

Finden Sie $g(200)$ mod $(10^9 + 7)$.