Diophantische Gleichung über Kopf

"Über Kopf" ist eine Abwandlung der berühmten Pythagoräischen Gleichung: \begin{align} \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{13}{z^2} \end{align}

Wir nennen eine Lösung $(x,y,z)$ dieser Gleichung mit (positiven) natürlichen Zahlen $x, y$ und $z$ primitiv, wenn $\text{ggT}(x,y,z)=1$.

Sei $S(N)$ die Summe über $x+y+z$ für primitive "Über Kopf"-Lösungen, so dass $1 \leq x,y,z \leq N$ und $x \le y$.
Für $N=100$ sind die primitiven Lösungen $(2,3,6)$ und $(5,90,18)$, also ist $S(10^2)=124$.
Es kann geprüft werden, dass $S(10^3)=1470$ und $S(10^5)=2340084$.

Finden Sie $S(10^{16})$ und geben Sie die letzten 9 Ziffern Ihrer Antwort.