Was? Wo? Wann?

"Was? Wo? Wann?" ist eine Spielshow im Fernsehen, in der ein Experte versucht, Fragen zu beantworten.

Es beginnt mit $2n+1$ Umschlägen. $2n$ von ihnen enthalten je eine Frage, und eine enthält eine ROTE Karte.

In jeder Runde wird einer der verbleibenden Umschläge zufällig ausgewählt. Enthält er die ROTE Karte, so endet das Spiel. Enthält er eine Frage, so gibt der Experte die Antwort. Wenn die Antwort richtig ist, bekommt der Experte einen Punkt, andernfalls bekommen die Zuschauer einen Punkt. Das Spiel endet normal, wenn entweder der Experte oder die Zuschauer $n$ Punkte bekommen haben.

Unter der Annahme, dass der Experte mit einer festen Wahrscheinlichkeit $p$ die richtige Antwort gibt, sei $f(n,p)$ die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel normal endet (d.h. die ROTE Karte nie erscheint).

Auf 10 Dezimalstellen gerundet ist
$f(6,\frac{1}{2})=0.2851562500$,
$f(10,\frac{3}{7})=0.2330040743$,
$f(10^4,0.3)=0.2857499982$.

Bestimmen Sie $f(10^{11},0.4999)$. Runden Sie Ihre Antwort auf 10 Dezimalstellen nach dem Dezimalpunkt.