Größte Primzahl

Betrachten Sie die Folge $n^2+3$ mit $n \ge 1$.
Wenn wir die ersten Terme dieser Folge aufschreiben, erhalten wir:
$4, 7, 12, 19, 28, 39, 52, 67, 84, 103, 124, 147, 172, 199, 228, 259, 292, 327, 364,$... .
Wir sehen, dass die Terme für $n=6$ und $n=7$ ($39$ und $52$) beide durch $13$ teilbar sind.
Tatsächlich ist $13$ die größte Primzahl, die zwei aufeinanderfolgende Terme dieser Sequenz teilt.

Sei $P(k)$ die größte Primzahl, die zwei aufeinanderfolgende Terme der Folge $n^2+k^2$ teilt.

Finden Sie die letzten 18 Ziffern von $\displaystyle \sum_{k=1}^{10\,000\,000} P(k)$.