Zählen binärer Matrizen

Eine binäre Matrix ist eine Matrix, deren Einträge vollständig aus 0en und 1en besteht. Betrachten Sie die folgenden Transformationen, die an einer binären Matrix durchgeführt werden können:

• Zwei beliebige Zeilen vertauschen
• Zwei beliebige Spalten vertauschen
• Alle Elemente in einer einzigen Zeile umdrehen (aus 1 wird 0, aus 0 wird 1)
• Alle Elemente in einer einzigen Spalte umdrehen

Zwei binäre Matrizen $A$ und $B$ werden als äquivalent betrachtet, wenn es eine Folge solcher Transformationen gibt, die bei Anwendung auf $A$ die Matrix $B$ ergibt. Zum Beispiel sind die folgenden beiden Matrizen äquivalent:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

über die Abfolge von zwei Transformationen "Alle Elemente in Spalte 3 umdrehen" gefolgt von "Zeilen 1 und 2 vertauschen".

Definieren Sie $c(n)$ als die maximale Anzahl von $n\times n$ binären Matrizen, die so gefunden werden können, dass keine zwei äquivalent sind. Zum Beispiel: $c(3)=3$. Es sei auch angegeben, dass $c(5)=39$ und $c(8)=656108$.

Finden Sie $c(20)$, und geben Sie Ihre Antwort modulo $1\,001\,001\,011$.