Diophantische Reziproken I

In der folgenden Gleichung sind x, y und n positive ganze Zahlen.

$$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{n}$$

Für n = 4 gibt es genau drei verschiedene Lösungen:

$$\begin{align} \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{20} &= \dfrac{1}{4}\\ \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} &= \dfrac{1}{4}\\ \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{8} &= \dfrac{1}{4} \end{align} $$

Was ist der kleinste Wert von n, für den die Anzahl verschiedener Lösungen eintausend überschreitet?

HINWEIS: Dieses Problem ist eine vereinfachte Version von Problem 110; es wird stark empfohlen, dieses hier zuerst zu lösen.