Läufer und Schwimmer

Zwei Freunde, ein Läufer und ein Schwimmer, spielen ein Spiel: Der Schwimmer schwimmt in einem kreisförmigen Pool, während der Läufer am Rand des Pool entlang läuft. Während der Läufer versucht den Schwimmer in dem Moment, wo er den Pool verlässt, zu erreichen, versucht der Schwimmer, den Rand zu erreichen, bevor der Läufer ihn erreicht. Sie beginnen das Spiel mit dem Schwimmer im Mittelpunkt des Pools, während der Läufer irgendwo am Rand des Pools ist.

Wir nehmen an, dass der Schwimmer sich mit einer Geschwindigkeit bis zu $1$ in jede Richtung bewegen kann, während der Läufer sich mit einer Geschwindigkeit bis zu $v$ um den Pool bewegen kann. Zudem nehmen wir an, dass beide Spieler auf jegliche Veränderung an der Bewegung ihres Gegners sofort reagieren können

Unter der Annahme einer optimalen Strategie beider Spieler kann gezeigt werden, dass der Schwimmer immer entkommen kann, bevor der Läufer ihn fängt, wenn $v$ weniger ist als die kritische Geschwindigkeit $V_{Kreis} \approx 4.60333885$, und kann niemals entkommen, wenn $v>V_{Kreis}$.

Nun wiederholen die beiden das Spiel in einem perfekt quadratischen Pool. Wieder beginnt der Schwimmer im Mittelpunkt des Pools, während der Läufer in der Mitte einer der Seiten beginnt. Es kann bewiesen werden, dass die kritische maximale Geschwindigkeit des Läufers, unter welcher der Schwimmer immer entkommen kann und über welcher der Läufer den Schwimmer immer fängt, wenn er den Pool verlassen will, $V_{Quadrat} \approx 5.78859314$ ist.

Zuletzt entscheiden sich beide Spieler das Spiel in einem sechseckigen Pool zu wiederholen. Mit den selben Bedingungen wie oben beschrieben, mit dem Schwimmer im Mittelpunkt des Pools und dem Läufer in der Mitte einer der Kanten, finden Sie die kritische maximale Geschwindigkeit $V_{Hexagon}$ des Läufers, unter welcher der Schwimmer immer entkommen kann und über welcher der Läufer immer den Schwimmer fangen kann. Geben Sie Ihre Antwort auf 8 Stellen nach dem Komma gerundet.