Minimale Fläche eines konvexen Gitter-Polygons

Ein symmetrisches konvexes Gitter-Polygon ist ein Polygon,

• dessen Ecken ganzzahlige Koordinaten haben,
• dessen Innenwinkel echt kleiner als $180°$ sind
• und das sowohl horizontal als auch vertikal symmetrisch ist.

Zum Beispiel ist das linke Polygon ein konvexes Gitter-Polygon, das weder horizontal noch vertikal symmetrisch ist, während das rechte ein zulässiges symmetrisches konvexes Gitter-Polygon mit sechs Ecken ist:

Sei $A(N)$ die minimale Fläche eines symmetrischen konvexen Gitter-Polygons mit $N$ Ecken.

Dann ist $A(4) = 1$, $A(8) = 7$, $A(40) = 1039$ und $A(100) = 17473$.

Finden Sie $A(1000)$.