Zahlen aufteilen

Wir definieren eine $S$-Zahl als eine Quadratzahl, $n$, deren Wurzel durch das Aufteilen von $n$ in 2 oder mehr Zahlen und anschließendes Summieren erhalten werden kann.

Zum Beispiel ist 81 eine $S$-Zahl, da $\sqrt{81} = 8+1$.
6724 ist eine $S$-Zahl: $\sqrt{6724} = 6+72+4$.
8281 ist eine $S$-Zahl: $\sqrt{8281} = 8+2+81 = 82+8+1$.
9801 ist eine $S$-Zahl: $\sqrt{9801}=98+0+1$.

Des weiteren definieren wir $T(N)$ als die Summe aller $S$-Zahlen $n\le N$. Es ist $T(10^4) = 41333$ gegeben.

Finden Sie $T(10^{12})$.