Konvexer Pfad im Quadrat

Sei $F(N)$ die maximale Anzahl von Gitterpunkten in einem achsenparallelen Quadrat der Größe $N \times N$, durch die der Graph einer einzelnen streng konvex ansteigenden Funktion gehen kann.

Es gilt $F(1) = 2$, $F(3) = 3$, $F(9) = 6$, $F(11) = 7$, $F(100) = 30$ und $F (50000) = 1898$.
Unten sehen Sie den Graph einer Funktion, die für $N = 3$ das Maximum 3 erreicht:

Finden Sie $F(10^{18})$.