Kuchen essen

Jeff isst einen Kuchen auf ungewöhnliche Weise.
Der Kuchen ist rund. Er beginnt mit einem anfänglichem Schnitt entlang eines Radius des Kuchens.
Solange noch ein gegebener Anteil F des Kuchens übrig ist, wird er die folgenden Schritte befolgen:
- Er schneidet den Kuchen von je zwei Punkten auf dem übriggebliebenen Kuchenrand bis zur Kuchenmitte. Jeder Punkt auf dem Kuchenrand ist dabei gleich wahrscheinlich. Der übriggebliebene Kuchen wird so in drei Teile geschnitten.
- Gegen den Uhrzeigersinn, angefangen beim ursprünglichen Schnitt, nimmt er sich zwei Stücke Kuchen und isst sie.
Wenn weniger als der gegebene Anteil F des Kuchens übrig bleibt, wiederholt er die obigen Schritte nicht. Stattdessen isst er auch den restlichen Kuchen.

Für x ≥ 1 sei E(x) die erwartete Anzahl an Wiederholungen der obigen Schritte mit F = ¹/_x.
Es kann gezeigt werden, dass E(1) = 1, E(2) ≈ 1.2676536759, und E(7.5) ≈ 2.1215732071 ist.

Finden Sie E(40) gerundet auf 10 Nachkommastellen.