Ganzzahl-Zerlegungs-Gleichungen

Es gibt für manche positiven ganzen Zahlen k eine Ganzzahl-Zerlegung der Form 4^t = 2^t + k,
wobei 4^t, 2^t, und k alle positive ganze Zahlen sind und t eine reelle Zahl ist.

Die ersten beiden solchen Zerlegungen sind 4¹ = 2¹ + 2 und 4^1.5849625... = 2^1.5849625... + 6.

Zerlegungen, bei denen t ebenfalls eine ganze Zahl ist, heißen perfekt.
Für jedes m ≥ 1 sei P(m) der Anteil solcher Zerlegungen, die perfekt sind, mit k ≤ m.
So ist P(6) = 1/2.

In der folgenden Tabelle sind beispielhaffte Werte für P(m) gelistet

   P(5) = 1/1
   P(10) = 1/2
   P(15) = 2/3
   P(20) = 1/2
   P(25) = 1/2
   P(30) = 2/5
   ...
   P(180) = 1/4
   P(185) = 3/13

Finden Sie das kleinste m, für welches P(m) < 1/12345