Ketten von Ziffer-Fakultäten

Die Zahl 145 ist wohlbekannt für die Eigenschaft, dass die Summe der Fakultäten ihrer Ziffern 145 beträgt:

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

Vielleicht weniger bekannt ist die Zahl 169 dafür, dass sie die längste Kette von Zahlen bildet, die wieder zu 169 führen; es stellt sich heraus, dass nur drei solcher Schleifen existieren:

169 → 363601 → 1454 → 169
871 → 45361 → 871
872 → 45362 → 872

Es ist nicht schwer zu beweisen, dass JEDE Anfangszahl letztendlich in einer Schleife stecken bleibt. Beispiele:

69 → 363600 → 1454 → 169 → 363601 (→ 1454)
78 → 45360 → 871 → 45361 (→ 871)
540 → 145 (→ 145)

Wenn man mit 69 beginnt, erhält man eine Kette mit fünf wiederholungsfreien Werten, aber die längste wiederholungsfreie Kette mit einer Anfangszahl unter 1 Million enthält sechzig Terme.

Wie viele Ketten mit einer Anfangszahl unter 1 Million enthalten genau sechzig wiederholungsfreie Terme?