Tom und Jerry

Tom (die Katze) und Jerry (die Maus) spielen auf einem einfachen Graphen $G$.

Jeder Knoten von $G$ ist ein Mauseloch, und jede Kante von $G$ ist ein Tunnel, der zwei Mauselöcher verbindet.

Anfangs versteckt sich Jerry in einem der Mauselöcher.
Jeden Morgen kann Tom eines (und nur eines) der Mauselöcher überprüfen. Wenn Jerry sich dort zufällig versteckt, fängt Tom Jerry und das Spiel ist vorbei. Jeden Abend, wenn das Spiel weitergeht, geht Jerry zu einem Mauseloch, das an sein aktuelles Versteck angrenzt (d.h. durch einen Tunnel verbunden ist, falls ein solcher vorhanden ist). Am nächsten Morgen schaut Tom erneut nach und das Spiel geht so weiter.

Wir nennen eine Graphen $G$ einen Tom-Graphen, wenn unser superschlauer Tom, der die Konfiguration des Graphen kennt, aber nicht weiß, wo sich Jerry befindet, garantieren kann, Jerry in endlich vielen Tagen zu erwischen. Betrachten Sie zum Beispiel alle Graphen auf 3 Knoten:

Für die Graphen 1 und 2 wird Tom Jerry in höchstens drei Tagen einholen. Bei Graph 3 kann Tom die mittlere Verbindung an zwei aufeinander folgenden Tagen überprüfen und somit garantieren, dass er Jerry in höchstens zwei Tagen fängt. Diese drei Diagramme sind daher Tom-Graphen. Bei Grafik 4 handelt es sich jedoch nicht um einen Tom-Graphen, da das Spiel möglicherweise ewig dauern könnte.

Sei $T(n)$ die Anzahl der verschiedenen Tom-Graphen mit $n$ Knoten. Zwei Graphen werden als gleich betrachtet, wenn zwischen ihren Knoten eine Bijektion $f$ besteht, sodass $(v,w)$ genau dann eine Kante ist, wenn $(f(v),f(w))$ eine Kante ist.

Wir haben $T(3) = 3$, $T(7) = 37$, $T(10) = 328$ und $T(20) = 1416269$.

Finden Sie $T(2019)$ und geben Sie Ihre Antwort modulo $1\,000\,000\,007$.