Die Quadratwurzel von 2 kann als unendlicher Kettenbruch geschrieben werden.

√2 = 1 +
1
2 +
1
2 +
1
2 +
1
2 + ...

Der unendliche Kettenbruch kann geschrieben werden als √2 = [1;(2)], (2) zeigt, dass 2 sich ad infinitum wiederholt. Genauso ist √23 = [4;(1,3,1,8)].

Es stellt sich heraus, dass die Folge der Teilwerte der Kettenbrüche für Quadratwurzeln die besten rationalen Annäherungen bilden. Wir stellen uns die Annäherungen für √2 vor.

1 +
1

= 3/2
2
1 +
1

= 7/5
2 +
1

2
1 +
1

= 17/12
2 +
1

2 +
1

2
1 +
1

= 41/29
2 +
1

2 +
1

2 +
1

2

Somit ist die Folge der ersten 10 Annäherungen an √2:

1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, 1393/985, 3363/2378, ...

Es ist sehr überraschend, dass für die wichtige mathematische Konstante gilt:
e = [2; 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 , ... , 1,2k,1, ...].

Die ersten zehn Terme der Folge der Annäherungen an e sind:

2, 3, 8/3, 11/4, 19/7, 87/32, 106/39, 193/71, 1264/465, 1457/536, ...

Die Quersumme des Zählers der 10. Annäherung ist 1+4+5+7=17.

Finden Sie die Quersumme der 100. Annäherung des Kettenbruchs für e.

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