Quadratwurzel-Konvergenzen

Es ist möglich zu zeigen, dass die Quadratwurzel aus zwei als unendlicher Kettenbruch dargestellt werden kann.

$\sqrt 2 =1+ \frac 1 {2+ \frac 1 {2 +\frac 1 {2+ \dots}}}$

Wenn wir die ersten vier Iterationen erweitern, erhalten wir:

$1 + \frac 1 2 = \frac 32 = 1.5$
$1 + \frac 1 {2 + \frac 1 2} = \frac 7 5 = 1.4$
$1 + \frac 1 {2 + \frac 1 {2+\frac 1 2}} = \frac {17}{12} = 1.41666 \dots$
$1 + \frac 1 {2 + \frac 1 {2+\frac 1 {2+\frac 1 2}}} = \frac {41}{29} = 1.41379 \dots$

Die nächsten drei Erweiterungen sind $\frac {99}{70}$, $\frac {239}{169}$ und $\frac {577}{408}$, aber die achte Erweiterung, $\frac {1393}{985}$, ist das erste Beispiel, bei dem die Anzahl an Ziffern im Zähler größer als die Anzahl der Ziffern im Nenner ist.

Wie viele Brüche unter den ersten eintausend Erweiterungen enthalten einen Zähler mit mehr Ziffern als im Nenner?